ド・モルガンの法則は無限個の集合にも成立する

数学の基礎概念なのでちょっと抽象的な話が続くけど飛ばさないで味わう。
頭の瞬発力の無さには自信があるがw、時間をかけて納得するプロセスが血と汗と肉になる。
今回は時間がないので、前回の補足。

前回のエントリで、無限個の集合に対して和集合、積集合を計算できること書いてみた。
さらに、差集合、補集合も無限個の集合に対して計算することができる。

ある部分集合Aに対して、
Xの要素の中でこれに含まれないもの全体を\(A^{c}\)と表して補集合という。

$$ A^{c} = \bigl\{ x \mid x \in X, x \not\in A \bigr\} $$

補集合についても、無限個の集合を扱うことができる。
その例として、ベン図を書いて分かった気になるド・モルガンの法則。

\begin{eqnarray}
(A\cap B)^{c} &=& A^{c} \cup B^{c} \\
(A\cup B)^{c} &=& A^{c} \cap B^{c} \\
\end{eqnarray}

無限個の集合に対して対しても積集合、和集合を計算できることから、
ド・モルガンの法則も無限個の集合に拡張できてしまう。

\begin{eqnarray}
\Bigl( \bigcap^{\infty}_{n=1} A_{n} \Bigr)^{c} &=& \bigcup^{\infty}_{n=1} A_{n}^{c} \\
\Bigl( \bigcup^{\infty}_{n=1} A_{n} \Bigr)^{c} &=& \bigcap^{\infty}_{n=1} A_{n}^{c}
\end{eqnarray}

次はド・モルガンの法則をベン図に頼らないで理解してみる。
全ての数式の証明は論理式により与えられる、という。

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