和集合と積集合は無限個の集合についても計算できる

[mathjax]

無限個の集合について和集合と積集合の計算ができることの証明。
というよりは論理式を使った無限個の集合に対する扱いそのものの学び。

\( n=1,2,\cdots \) に対して集合\(A_{n}\) が以下のように定義されているとする。

$$ A_{n} = \Bigl\{ x \mid x \in \mathcal{R}, |x| \leq 1 + \frac{1}{n} \Bigr\} $$
\( A_{n} \)は数直線上の区間 \( \Bigl[ -\Bigl( 1+\frac{1}{n} \Bigr), 1+\frac{1}{n} \Bigr] \) に対応する。

nが1のとき区間は\( \Bigl[ – \Bigl( 1+\frac{1}{1} \Bigr), 1+\frac{1}{1} \Bigr] \) = \( \bigl(-2, 2 \bigr) \)。

nが大きくなるにつれて、区間は \( \bigl(-1, 1\bigr) \)に近づいていく。

Aが\( \bigl(-1, 1\bigr) \)であることを立式できれば、
その時点で無限個の集合について積集合を計算できたことになる。

無限個の\(A_{n}\)について、全ての積集合は以下のように表される。

$$ A = A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cdots = \bigcap^{\infty}_{n=1} A_{n} $$

\(A\)に属する要素は、全ての\(n=1,2,\cdots\)に対して\(A_{n}\)に属している必要があるので、
以下の同値式が成り立つ。
$$ x \in A \Leftrightarrow \forall n \in \mathcal{N}; x\in A_{n} $$

※かなり飛躍があるというか、無限個の集合に対する演算において良く使われる様子

ここで \( -1 \leq x \leq 1 \) を満たす\(x\)については、
以下が成り立つ。
$$\forall n \in \mathcal{N}; x\in A_{n} $$

逆に、\( x\lt -1\) もしくは、\( x\gt 1\) を満たす\(x\)の場合、
$$ \mid x \mid \gt 1 + \frac{1}{n} $$

なので、\( x\in A_{n} \)を満たさないため、以下の同値式は成り立たない。
$$ x \in A \Leftrightarrow \forall n \in \mathcal{N}; x\in A_{n} $$

以上から
$$ A=\bigl\{ x \mid x \in \mathcal{R}, -1\le x \le 1 \bigr\} $$
であることが示される。

途中の同値式がキモというか、
集合というのはこういう風に扱うべし、ということなのか。

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