計量テンソルの物理的な意味

はじめに

Tensor Flowを理解するために計量テンソルの物理的な意味の理解が不可欠なので数式を追ってみた。ちょっと時間かかったけど、計量テンソルまではOK。スカラー、ベクトルを説明するまではまだ理解できてない。しかし、Ad-HocなIT技術ばかり触っていると、数式の美しさは格が違うな。

• 計量テンソルが直感的に何を表しているのかは最後だけでOK
• 変換係数α_i^k=g_ijって何？を理解するために共変ベクトル、反変ベクトルの定義を遡る必要がある

ベクトルと変換

ある座標系の基底ベクトル(e₁,e₂,e₃)を、別の座標系のベクトル(e₁‘,e₂‘,e₃‘)に変換することを考える。適当な係数α_i^jを使って線形結合で表現すると、

• e₁‘=α₁¹e₁+α₁²e₂+α₁³e₃
• e₂‘=α₂¹e₁+α₂²e₂+α₂³e₃
• e₃‘=α₃¹e₁+α₃²e₂+α₃³e₃

α_i^kを変換係数と呼ぶ。変換係数により基底ベクトルeから別の規定ベクトルe’への座標変換を決定している。
まとめると以下のように表現できる。（HTMLじゃ厳しいです…)

• ei‘=Σk=13αiikek

ダッシュ付きベクトルとダッシュ無しベクトルを入れ替えると

• e_k=Σ_l’=1³α_k^l’e_l‘

上の式に下の式を代入する。これはダッシュ無しベクトルをダッシュ付きベクトルに変換する式に、ダッシュ付ベクトルをダッシュ無しベクトルに変換する式を代入することを表す。もっと言えば、変換と逆変換を同時に行ってみる。

• e_i‘=Σ_k=1³Σ_l=1³α_i’^kα_k^l’e_l‘

この右辺はe_iiにならないといけないので、

• Σ_k=l³α_i’^kα_k^l’=0 (i’≠l’)
• Σ_k=l³α_i’^kα_k^l’=1 (i’＝l’)

ダッシュ付きベクトルとダッシュ無しベクトルを入れ替えても同様に、

• Σ_k’=1³α_k’^lα_k’^l=0 (i≠l)
• Σ_k’=1³α_k’^lα_k’^l=1 (i＝l)

見事な感じで、Σ_k=1³Σ_l=1³α_i’^kα_k^l’は単位行列ということになる。話を戻すと変換、逆変換を同時におこなうと元に戻る、ということになる。

なお、クロネッカーのデルタを使うと、

• Σ_k=l³α_i’^kα_k^l’=0 (i’≠l’)
• Σ_k=l³α_i’^kα_k^l’=1 (i’＝l’)

は、以下のように1つにまとめられる。

• α_i’^kα_k^l’=δ_i’^l’

同様に、

• Σ_k’=1³α_k’^lα_k’^l=0 (i≠l)
• Σ_k’=1³α_k’^lα_k’^l=1 (i＝l)

は、以下のように1つにまとめられる。

• α_k’^lα_k’^l=δ_k’^l

共変ベクトルと反変ベクトル

ある基底ベクトルe=(e₁,e₂,e₃)を別の基底ベクトルe’=(e₁‘,e₂‘,e₃‘)ベクトルに変換する際の座標変換は以下のように表される。

• e_i‘=α_i’^ke_k

この時、変換係数α_i’^kを用いて、基底ベクトルの変換式と同一の変換式に従うベクトルA=A₁e¹+A₂²+A₃³を共変ベクトルと呼ぶ。

一方、添字を上下逆にした変換係数α_k^i’c^kに従うベクトルC=C¹e₁+C²e₂+C³e₃を反変ベクトルという。

• C’ⁱ=α_k^i’C^k

ここで、e_iを共変基底、eⁱを反変基底とよぶ。
共変基底、反変基底には次式が成り立つ。

• e_i・e^j=δ_i^j

計量テンソル

共変基底e^k,e_kを用いたベクトルA=A^ke_k=A_ke^k。
それぞれに添字を上下反転させた基底e_i,eⁱとの内積を取る。

• e_i・A=A^ke_k・e_i=A^k(eⁱ・e^k)
• eⁱ・A=A_ke^k・eⁱ=A_k(e_i・e_k)

共変基底、反変基底の積 e_i・e_k=g_ikとする。

• e_i・A=A^kg_ik
• eⁱ・A=A_kg^ik

A=Aⁱe_i=A_ieⁱであるから、

• e_i・A_ieⁱ=A^kg_ik
• eⁱ・Aⁱe_i=A_kg^ik

整理すると、

• e_i・eⁱ A_i=A_i=g_ikA^k
• eⁱ・e_i Aⁱ=Aⁱ=g_ikA_k

つまり以下。

• A_i‘=g_ikA_k
• Aⁱ‘=g^ikA^k

これは、ベクトルの共変成分、反変成分の変換式である。

共変成分、反変成分を相互変換する変換係数g_ij(=α_i^j)の意味

ベクトルrの長さが微小に変化したとする。その微小変化をベクトルdr=dx_ieⁱ=dxⁱe_iとする。

ds²
=dr・dr
=dxⁱe_i・dx^je_j=g_ijdxⁱdx^j
=dx_ieⁱ・dx_je^j=g^ijdx_idx_j
=dxⁱe_i・dx_je^j=g_u^jdxⁱdx_j
=dxⁱdx_i

e_i-e_jを座標系として取ったとき、dxⁱ、dx^jを成分とすることを表す。
また、eⁱ-e^jを座標系として取ったとき、dx_i、dx_jを成分とすることを表す。
これらの座標系で各座標軸に沿った変化分の単純な積dxⁱdx^j、dx_idx_jと、本当の変化分の2乗ds²の比がg_ij、g^ijであることを表す。
g_ij、g^ijを計量テンソルと呼ぶ。