線形代数

固有値、固有ベクトル

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線形代数もやりなおします。流石に時間ないので微妙に分かるところまでですが。
第1弾は固有値、固有ベクトル。

具体例を使って追ってみるやつ

行列\(A\)とベクトル\(\vec{v_1}\)をデタラメに選んで内積を取ってみる。
\(A=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\)。\(\vec{v_1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix}\)。

\begin{eqnarray}
\vec{v_2} = A\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + 5 \times 4 \\ 3 \times 1 + 7 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 \\ 31 \end{pmatrix}
\end{eqnarray}

\(\vec{v_1}\)と\(\vec{v_2}\)は向きが違うし大きさも違う。
\(\vec{v_1}\)に\(A\)をかけることで、回転して伸ばしてる。

\(\vec{v_1}\)と\(\vec{v_2}\)の向きが同じになるように\(\vec{v_1}\)を選べないか...。
下みたいな組み合わせだと、左と右が同じ向きになる。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0.575249 \\ 0.817978\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5.2403 \\ 7.4515\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
伸ばす分を外に出すと以下みたいになる。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0.575249 \\ 0.817978\end{pmatrix} =
9.10977 \begin{pmatrix}0.575249 \\ 0.817978\end{pmatrix}
\end{eqnarray}

長さを伸ばす分の係数\(9.10977\)が行列\(A\)の固有値。
\begin{pmatrix}0.575249 \\ 0.817978\end{pmatrix}が行列\(A\)の固有ベクトル。

次数が多いやつ

\(A\)は\(n \times n\)の正方行列。固有ベクトル\(\vec{x}\)は\(1 \times n\)。固有値\(\lambda\)はスカラー。
\begin{eqnarray}
A \vec{x} &=& \lambda \vec{x}
\end{eqnarray}
以下みたいに変形して\(\vec{x}\)と\(\lambda\)を求める。
\begin{eqnarray}
(A-\lambda E) \vec{x} &=& \vec{0}
\end{eqnarray}
\((A-\lambda E)\)に逆行列があると\(E\vec{x} = \vec{0}\)とかになってゼロベクトルじゃない\(\vec{x}\)を求められないから、
逆行列が存在しない、という式を立てるらしい。。
"逆行列が存在しない"だけだと、\(\vec{x}\)も\(\lambda\)も複数ありそうだけど絶対に1つしか存在しないらしい。
逆行列が存在しないのは、行列式がゼロ、とするらしい。
\begin{eqnarray}
det(A-\lambda E) = 0
\end{eqnarray}
手計算が合わないのでそれ以降は省略...

まとめ

行列\(A\)の固有値、固有ベクトルは、
\(A \vec{x} = \lambda \vec{x}\)となる\(\vec{x}\)と\(\lambda\)のセットを求めることでした。
向き、大きさの変換を表す\(A\)を、向きを表すベクトル\(\vec{x}\)と大きさ\(\lambda\)で表しなおす..ような。

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