統計

分散と標準偏差を計算しやすくする

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分散と標準偏差を計算しやすく変形できる。
いちいち偏差\(x_i-\bar{x}\)を計算しておかなくても、2乗和\(x_i^2\)と平均\(\bar{x}\)がわかっていればOK。

\begin{eqnarray}
s^2 &=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( x_i^2 -2 x_i \bar{x} + \bar{x}^2 ) \\
&=& \frac{1}{n} ( \sum_{i=1}^n x_i^2 -2 \bar{x} \sum_{i=1}^n x_i + \bar{x}^2 \sum_{i=1}^n 1) \\
&=& \frac{1}{n} ( \sum_{i=1}^n x_i^2 -2 n \bar{x}^2 + n\bar{x}^2 ) \\
&=& \frac{1}{n} ( \sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2 ) \\
&=& \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 – \bar{x}^2 \\
s &=& \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2 – \bar{x}^2 }
\end{eqnarray}

以下みたい使える。平均と標準偏差と2乗和の関係。
\begin{eqnarray}
\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 &=& \sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2 \\
ns^2 &=& \sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2 \\
\sum_{i=1}^n x_i^2 &=& n(s^2 + \bar{x} )
\end{eqnarray}

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