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排反事象の確率の和と一般の事象の確率の和の関係

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確率の基本を最初からじっくり読み進めてみる。
そもそもロクにわかってないことがわかる。
確率の加法について今更"おっ?"と思ったのでまとめてみる。

排反事象の確率の和と一般の事象の確率の和の関係

事象\(A\)と事象\(B\)が排反であるとき以下が成り立つ。
\begin{eqnarray}
P(A\cup B)=P(A)+P(B)
\end{eqnarray}
これは、事象\(A\)と事象\(B\)の排反でない場合の確率\(P(A\cup B)\)について
事象\(A\)と事象\(B\)が排反である、という特殊な条件を付けたものになっている。

\(P(A\cup B)\)は3つの排反事象の確率\(P(A\cap B^c),P(A^c \cap B),P(A\cap B)\)の和に分解できる。

\begin{eqnarray}
P(A\cup B) = P(A\cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A\cap B)
\end{eqnarray}

事象\(A\)を以下のように分解する。
\begin{eqnarray}
A &=& (A\cap B^c)\cup (A\cap B)\\
B &=& (A\cap B)\cup (A^C \cup B)
\end{eqnarray}

\((A\cap B^c)\)と\((A\cap B) \)は排反、\((A\cap B)\)と\((A^C \cup B)\)も排反。

なので、
\begin{eqnarray}
P(A) &=& P(A\cap B^c) + P(A\cap B) \\
P(B) &=& P(A\cap B) + P(A^C \cup B)
\end{eqnarray}

2つ足すと、
\begin{eqnarray}
P(A)+P(B) &=& 2 P(A\cap B) + P(A\cap B^c) + P(A^C \cup B)
\end{eqnarray}

これ、以下のように変形できてしまう。
\begin{eqnarray}
P(A\cap B) &=& P(A) + P(B) - P(A\cup B)
\end{eqnarray}

ここまで来てようやく...

\(A\)が起きる確率と\(B\)が起きる確率の和は、それぞれを足したものから重複部分の確率を引いたもの。
\(A\)と\(B\)が排反事象の場合に限って\(P(A\cup B)=\phi\)だから、\(P(A)+P(B)\)となる。

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