統計

標本調査に必要なサンプル数を素人が求めてみる。

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ちょっと不思議な計算をしてみる。
仮定に仮定を積み重ねた素人の統計。

成功か失敗かを応答する認証装置があったとする。
1回の試行における成功確率\(p\)は試行によらず一定でありベルヌーイ試行である。
\(n\)回の独立な試行を繰り返したとき、成功数\(k\)を確率変数とする離散確率変数に従う。

二項分布の確率密度関数は以下の通り。
\begin{eqnarray}
P(X=k)= {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}
\end{eqnarray}
期待値、分散は、
\begin{eqnarray}
E(X) &=& np \\
V(X) &=& np(1-p)
\end{eqnarray}

\(z\)得点(偏差値,つまり平均からの誤差が標準偏差何個分か?)は、
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{X-E(X)}{\sigma} \\
&=& \frac{X-E(X)}{\sqrt{V(X)}} \\
&=& \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}
\end{eqnarray}
であり、\(z\)は標準正規分布に従う。

これを標本比率\(\hat{p}=\frac{X}{n}\)を使うように式変形する。
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \\
&=& \frac{\frac{X}{n}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \\
&=& \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}
\end{eqnarray}

\(n\)が十分に大きいとき、\(z\)は標準正規分布\(N(0,1)\)に従う。
従って、\(Z\)の95%信頼区間は以下である。
\begin{eqnarray}
-1.96 \le Z \le 1.96
\end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray}
-1.96 \le \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le 1.96
\end{eqnarray}
\(\hat{p}\)は\(p\)の一致推定量であるから、\(n\)が大なるとき\(\hat{p}=p\)とすることができる。
\begin{eqnarray}
-1.96 \le \frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} \le 1.96 \\
\end{eqnarray}
\(p\)について解くと\(p\)の95%信頼区間が求まる。
\begin{eqnarray}
\hat{p}-1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le p \le \hat{p}+1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\end{eqnarray}

上記のにおいて、標準誤差\(1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)が小さければ小さいほど、
95%信頼区間の幅が狭くなる。この幅が5%以内であることを言うためには以下である必要がある。
(有意水準=5%)
\begin{eqnarray}
1.96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \le 0.05
\end{eqnarray}

観測された\(\hat{p}\)が\(0.9\)であったとして\(n\)について解くと、
\begin{eqnarray}
1.96\sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{n}} \le 0.05 \\
\frac{1.96}{0.05} \sqrt{0.09} \le \sqrt{n} \\
11.76 \le \sqrt{n} \\
138.2 \le n
\end{eqnarray}

139回試行すれば、100回中95回は\(p\)は以下の95%信頼区間に収まる。
つまり95%信頼区間は以下となる。
\begin{eqnarray}
\hat{p}-1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} &\le& p \le \hat{p}+1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \\
0.9-1.96 \frac{\sqrt{0.09}}{\sqrt{139}} &\le& p \le 0.9 + 1.96 \frac{\sqrt{0.09}}{\sqrt{139}} \\
0.9-1.96 \frac{0.3}{11.78} &\le& p \le 0.9+1.96 \frac{0.3}{11.78} \\
0.85 &\le& p \le 0.95
\end{eqnarray}

\(n\)を下げたい場合は有意水準を下げれば良い。
統計的に有意水準=10%まで許容されることがある。
有意水準が10%であるとすると、\(n\)は35以上であれば良いことになる。
\begin{eqnarray}
1.96\sqrt{\frac{0.9(1-0.9)}{n}} \le 0.1 \\
\frac{1.96}{0.1} \sqrt{0.09} \le \sqrt{n} \\
5.88 \le \sqrt{n} \\
34.6 \le n
\end{eqnarray}

信頼区間と有意水準の式において\(p\)を標本から取ってきたけど、
アンケートにおいてYes/Noを答える場合、\(p\)は標本における最大値(つまり0.5)を
設定して\(n\)を求める。
つまり、\(p\)として利用するのは標本比率ではないのかな?と。

このあたり、\(\hat{p}\)を変数として残すとどういうことがわかった。

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